Física computacional

 

Temario 

1. ESCALAS, CONDICIÓN Y ESTABILIDAD 

1.1 Introducción. 

1.2 Sistemas numéricos de punto flotante y lenguajes. 

1.3 Dimensiones y escalas. 

1.4 Errores numéricos y su amplificación. 

1.5 Condición de un problema y estabilidad de un método. 

2. OPERACIONES MATEMÁTICAS BÁSICAS 

2.1 Interpolación y extrapolación. 

2.2 Diferenciación numérica. 

2.3 Integración numérica. 

2.4 Evaluación numérica de soluciones. 

3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 

3.1 Métodos simples.

3.2 Métodos implícitos y de multipasos. 

3.3 Métodos de Runge¬Kutta. 

3.4 Estabilidad de las soluciones. 

3.5 Orden y caos en el movimiento de dos dimensiones. 

4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE PROBLEMAS MATRICIALES    

4.1 Inversión de matrices y número de condición. 

4.2 Valores propios de matrices tridiagonales.

4.3 Discretización de la ecuación de Laplace y métodos iterativos de solución. 

5. Solución numérica de ecuaciones diferenciales elípticas en una y dos dimensiones. 

5. PROBLEMAS CLÁSICOS Y CUÁNTICOS DE VALORES PROPIOS

5.1 Algoritmo de Numerov. 

5.2 Integración de problemas con valores en la frontera. 

5.3 Formulación matricial para problemas de valores propios. 

5.4 Formulaciones variacionales. 

6. SIMULACIÓN COMPUTACIONAL 

6.1 Método de Monte Carlo. 

6.2 Dinámica molecular. 

6.3 Otros algoritmos de simulación. 

6.4 Aplicación a problemas de física de interés actual. 

7. ECUACIONES DE EVOLUCIÓN

7.1 La ecuación de ondas y su discretización en diferencias finitas. Criterio de Courant.

7.2 La ecuación de Fourier para el calor y su discretización en diferencias finitas. Estabilidad de esquema

1. ESCALAS, CONDICIÓN Y ESTABILIDAD 

1.1 Introducción

La precisión y exactitud de los cálculos numéricos son fundamentales en el ámbito de la computación científica y la ingeniería. Las operaciones matemáticas realizadas en las computadoras dependen de representaciones numéricas específicas, que pueden introducir errores y afectar la estabilidad y la fiabilidad de los resultados obtenidos. Este documento explora varios aspectos críticos relacionados con las escalas, la condición y la estabilidad en los cálculos numéricos, centrándose en los sistemas de punto flotante, dimensiones y escalas, errores numéricos y su amplificación, así como la condición de un problema y la estabilidad de un método.

1.2 Sistemas numéricos de punto flotante y lenguajes

Los sistemas numéricos de punto flotante son fundamentales en la computación moderna, permitiendo la representación de una amplia gama de valores con una precisión finita. La IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic (IEEE 754) define los formatos y operaciones de punto flotante, estandarizando su comportamiento en diversas plataformas y lenguajes de programación (IEEE Computer Society, 2019). Lenguajes como C, Fortran, y Python implementan esta norma para garantizar la portabilidad y coherencia de los cálculos. Sin embargo, la precisión limitada de estos sistemas puede llevar a errores de redondeo y otros problemas numéricos.

1.3 Dimensiones y escalas

En el contexto de la computación numérica, las dimensiones y escalas de los problemas a resolver son cruciales para determinar la precisión y eficiencia de los cálculos. Los sistemas de unidades y las escalas de medida pueden variar significativamente, afectando la magnitud de los números involucrados y, por ende, la precisión de las operaciones aritméticas. Es esencial utilizar escalas apropiadas para minimizar los errores numéricos y optimizar el rendimiento computacional (Higham, 2002). La normalización de los datos y la selección adecuada de unidades pueden ayudar a mantener la estabilidad numérica y reducir la amplificación de errores.

1.4 Errores numéricos y su amplificación

Los errores numéricos, como los errores de redondeo y truncamiento, son inevitables en los cálculos con punto flotante debido a la precisión finita de la representación numérica. Estos errores pueden amplificarse a través de las operaciones aritméticas, especialmente en algoritmos iterativos o cuando se realizan muchas operaciones en secuencia (Trefethen & Bau, 1997). La amplificación de errores puede conducir a resultados inexactos o incluso a la inestabilidad numérica. El análisis del error numérico y la implementación de técnicas de mitigación, como la suma compensada y el uso de algoritmos numéricamente estables, son cruciales para garantizar la precisión de los resultados.

1.5 Condición de un problema y estabilidad de un método

La condición de un problema se refiere a su sensibilidad a las perturbaciones en los datos de entrada. Un problema bien condicionado muestra poca variación en su solución ante pequeñas perturbaciones, mientras que un problema mal condicionado puede experimentar grandes cambios en la solución (Demmel, 1997). La estabilidad de un método numérico, por otro lado, se refiere a su capacidad para producir soluciones precisas frente a errores en los datos y errores de redondeo. Un método numérico estable produce soluciones precisas incluso para problemas mal condicionados, mientras que un método inestable puede amplificar los errores y producir resultados incorrectos. El análisis y la selección de métodos estables y eficientes son esenciales para resolver problemas numéricos de manera fiable y precisa.

2. OPERACIONES MATEMÁTICAS BÁSICAS

2.1 Interpolación y extrapolación

La interpolación y la extrapolación son técnicas fundamentales en el análisis numérico para estimar valores desconocidos. La interpolación se utiliza para estimar valores dentro del rango de un conjunto de datos conocido, mientras que la extrapolación se aplica para estimar valores fuera de dicho rango. La interpolación puede realizarse mediante diversos métodos, como el polinómico, de spline y de Lagrange (Burden & Faires, 2011). La extrapolación, aunque útil, es más propensa a errores debido a la falta de datos de soporte en los extremos, lo que puede llevar a estimaciones menos precisas.

2.2 Diferenciación numérica

La diferenciación numérica es un conjunto de técnicas para estimar las derivadas de una función basándose en valores discretos. A menudo se emplea cuando la forma analítica de la función no está disponible. Los métodos más comunes incluyen las fórmulas de diferencias finitas hacia adelante, hacia atrás y centradas (Chapra & Canale, 2015). Aunque la diferenciación numérica es una herramienta poderosa, puede ser susceptible a errores de redondeo y truncamiento, especialmente cuando se utilizan pasos de discretización muy pequeños o grandes.

2.3 Integración numérica

La integración numérica, o cuadratura, se refiere a la aproximación de la integral de una función cuando la forma analítica no es fácil de manejar. Métodos populares incluyen las reglas del trapecio, Simpson y cuadratura de Gauss (Atkinson, 1989). La elección del método depende de la función a integrar y la precisión requerida. La integración numérica es esencial en diversas aplicaciones científicas e ingenieriles, proporcionando un medio para evaluar áreas bajo curvas y resolver ecuaciones diferenciales de manera aproximada.

2.4 Evaluación numérica de soluciones

La evaluación numérica de soluciones implica verificar la precisión y estabilidad de los resultados obtenidos mediante métodos numéricos. Este proceso puede incluir la comparación de resultados con soluciones analíticas, cuando están disponibles, o la evaluación del comportamiento del error en algoritmos iterativos (Heath, 2002). Técnicas como el análisis de sensibilidad y la validación cruzada son comunes para asegurar la fiabilidad de las soluciones numéricas. La evaluación cuidadosa es crucial para aplicaciones prácticas, donde decisiones basadas en datos numéricos pueden tener implicaciones significativas.

3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 

3.1 Métodos simples

Los métodos simples para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) incluyen técnicas explícitas como el método de Euler. Este método es el más básico y consiste en aproximar la solución en pasos discretos utilizando la pendiente de la función en el punto anterior (Burden & Faires, 2011). Aunque es fácil de implementar y entender, el método de Euler tiene limitaciones significativas en términos de precisión y estabilidad, especialmente para problemas rígidos o cuando se requiere una alta precisión.

3.2 Métodos implícitos y de multipasos

Los métodos implícitos, como el método de Euler implícito y el método trapezoidal, son más estables que los métodos explícitos y son especialmente útiles para resolver EDO rígidas (Hairer & Wanner, 1996). Estos métodos requieren resolver una ecuación no lineal en cada paso, lo que puede incrementar el costo computacional. Por otro lado, los métodos de multipasos, como los métodos de Adams-Bashforth y Adams-Moulton, utilizan información de pasos anteriores para mejorar la precisión y la eficiencia (Ascher & Petzold, 1998). Estos métodos pueden ser explícitos o implícitos y son adecuados para problemas donde se conoce un buen número de valores iniciales.

3.3 Métodos de Runge-Kutta

Los métodos de Runge-Kutta son una familia de métodos iterativos para resolver EDO, que ofrecen un compromiso entre la simplicidad de los métodos explícitos y la precisión de los métodos implícitos. El método de Runge-Kutta de cuarto orden es el más popular debido a su alta precisión y facilidad de implementación (Butcher, 2008). Este método evalúa la pendiente en varios puntos dentro de cada intervalo de paso y combina estas evaluaciones para obtener una mejor aproximación de la solución.

3.4 Estabilidad de las soluciones

La estabilidad de las soluciones de EDO es un aspecto crítico a considerar en la elección del método numérico. Un método numérico es estable si los errores de redondeo y truncamiento no se amplifican significativamente a lo largo de los pasos de integración (Iserles, 2008). Para problemas rígidos, los métodos implícitos suelen ser más estables. El análisis de estabilidad puede involucrar técnicas como el análisis de estabilidad de von Neumann y el uso de diagramas de estabilidad para visualizar la respuesta del método a perturbaciones.

3.5 Orden y caos en el movimiento de dos dimensiones

El análisis del orden y caos en sistemas dinámicos de dos dimensiones es una aplicación avanzada de las EDO. Los sistemas dinámicos pueden exhibir comportamientos complejos, incluyendo órbitas periódicas, cuasi-periódicas y caóticas (Strogatz, 2015). El estudio del caos en estos sistemas se realiza a menudo mediante la teoría de sistemas dinámicos y análisis de bifurcaciones, que examinan cómo pequeños cambios en los parámetros del sistema pueden conducir a transiciones entre comportamientos ordenados y caóticos. Ejemplos clásicos incluyen el oscilador de Van der Pol y el sistema de Lorenz.

4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE PROBLEMAS MATRICIALES

4.1 Inversión de matrices y número de condición

La inversión de matrices es una operación fundamental en el análisis numérico, utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma Ax = b, donde 

A es una matriz cuadrada invertible. La eficiencia de los métodos para la inversión de matrices, como la eliminación de Gauss y las descomposiciones LU, depende en gran medida del número de condición de la matriz A (Golub & Van Loan, 2013). El número de condición, definido como κ(A) = ∥A∥∥A −1∥, mide la sensibilidad de la solución 𝑥 a pequeñas perturbaciones en los datos de entrada. Un número de condición alto indica que la matriz es mal condicionada, lo que significa que pequeñas perturbaciones en b o en los elementos de 𝐴 pueden provocar grandes cambios en la solución 𝑥, haciendo que los cálculos sean inestables y poco fiables (Higham, 2002).

4.2 Valores propios de matrices tridiagonales

Las matrices tridiagonales, que tienen no ceros solo en la diagonal principal y en las diagonales inmediatamente adyacentes, aparecen frecuentemente en problemas de física y ingeniería, especialmente en la discretización de ecuaciones diferenciales parciales. Los métodos numéricos para encontrar los valores propios de estas matrices, como el algoritmo QR y el método de Householder, son eficientes debido a la estructura especial de la matriz (Parlett, 1998). Además, la estructura tridiagonal permite el desarrollo de algoritmos específicos y optimizados que pueden calcular los valores propios con una complejidad computacional significativamente menor que para matrices generales.

4.3 Discretización de la ecuación de Laplace y métodos iterativos de solución

La ecuación de Laplace, ∇**2ϕ = 0, es una ecuación diferencial parcial elíptica que aparece en varios campos como la electrostática, la mecánica de fluidos y la teoría del potencial. Para resolver numéricamente esta ecuación en dominios discretos, se utilizan métodos de discretización como las diferencias finitas, que aproximan las derivadas parciales mediante diferencias finitas de los valores de la función en una malla de puntos (LeVeque, 2007). Los métodos iterativos, como el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel y el método de relajación sucesiva (SOR), son utilizados para resolver los sistemas de ecuaciones lineales resultantes. Estos métodos iterativos son preferidos sobre los métodos directos cuando se trata de grandes sistemas dispersos debido a su menor consumo de memoria y, a menudo, a su mayor velocidad de convergencia (Saad, 2003).

5. Solución numérica de ecuaciones diferenciales elípticas en una y dos dimensiones

La solución numérica de ecuaciones diferenciales elípticas, como la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson, en una y dos dimensiones, es un área crucial en el análisis numérico. Estas ecuaciones describen fenómenos en estado estacionario, como la distribución de temperatura en una placa. Los métodos numéricos para resolver estas ecuaciones incluyen la discretización mediante diferencias finitas, elementos finitos y volúmenes finitos (Strang & Fix, 1973). En una dimensión, las ecuaciones se reducen a sistemas lineales que pueden ser resueltos eficientemente mediante técnicas de factorización de matrices. En dos dimensiones, la complejidad aumenta, y a menudo se emplean métodos iterativos como los mencionados anteriormente para manejar los grandes sistemas dispersos que resultan de la discretización. Además, los métodos multigrid pueden mejorar significativamente la eficiencia y velocidad de convergencia de los métodos iterativos para problemas de grandes dimensiones (Briggs, Henson, & McCormick, 2000).

5.1 Algoritmo de Numerov

El algoritmo de Numerov es un método numérico utilizado para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden, especialmente aquellas que se encuentran en problemas de valores propios en física clásica y cuántica (Numerov, 1924). Este método es particularmente útil para ecuaciones de la forma $$y′'(x) = f(x,y), donde $$f(x,y) no depende explícitamente de la primera derivada $$y′(x). La fórmula de Numerov mejora la precisión al incluir términos de orden más alto en la aproximación, lo que lo hace más exacto que los métodos de diferencias finitas convencionales de segundo orden. En el contexto cuántico, el método se utiliza frecuentemente para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en problemas de potencial unidimensional, proporcionando una herramienta robusta para obtener funciones propias y valores propios (Schmidt, 1971).

5.2 Integración de problemas con valores en la frontera

Los problemas de valores en la frontera (BVP, por sus siglas en inglés) son fundamentales en muchas áreas de la física y la ingeniería, donde se busca una solución que satisfaga ciertas condiciones en los límites del dominio. Métodos numéricos como el método de disparo y los métodos de diferencias finitas son comúnmente utilizados para resolver BVP. El método de disparo transforma el BVP en un problema de valores iniciales, resolviendo iterativamente hasta que se cumplen las condiciones de frontera (Keller, 1968). Los métodos de diferencias finitas discretizan el dominio y resuelven el sistema resultante de ecuaciones algebraicas, proporcionando una aproximación directa de la solución (Ames, 1992). Estos métodos son esenciales en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales que describen fenómenos físicos en campos como la termodinámica y la mecánica de fluidos.

5.3 Formulación matricial para problemas de valores propios

La formulación matricial de problemas de valores propios es crucial tanto en la física clásica como en la cuántica. En este enfoque, se busca encontrar los valores propios $\mathrm{<b>\lambda </b>}$ y los vectores propios $\mathbf{v}$ que satisfacen la ecuación $$Av = λv, donde $A$ es una matriz cuadrada (Trefethen & Bau, 1997). En la mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger puede discretizarse y reformularse como un problema de valores propios, donde la matriz $A$ representa el hamiltoniano del sistema. Métodos numéricos como la descomposición QR y el método de la potencia son utilizados para calcular los valores propios y vectores propios de matrices grandes y dispersas (Golub & Van Loan, 2013). Estos métodos son fundamentales para entender las propiedades espectrales de sistemas físicos y para la simulación numérica de fenómenos cuánticos.

5.4 Formulaciones variacionales

Las formulaciones variacionales proporcionan un enfoque poderoso y general para resolver problemas de valores propios, especialmente en la mecánica cuántica. En este método, se busca encontrar una función que minimice una cierta integral funcional, que típicamente representa la energía del sistema. El principio variacional de Rayleigh-Ritz es uno de los métodos más conocidos, utilizado para aproximar los valores propios y funciones propias de un operador lineal (Courant & Hilbert, 1953). Este principio establece que los valores propios de un operador lineal se pueden obtener como los extremos de una integral funcional definida en un espacio de funciones de prueba. Las formulaciones variacionales son ampliamente utilizadas en la teoría de elementos finitos, donde se discretiza el espacio de funciones de prueba para resolver problemas de valores propios de manera eficiente y precisa (Zienkiewicz, Taylor, & Zhu, 2005).

6. SIMULACIÓN COMPUTACIONAL 

6.1 Método de Monte Carlo

El método de Monte Carlo es una técnica de simulación computacional utilizada para resolver problemas que pueden ser formulados en términos de procesos estocásticos. Este método emplea la generación de números aleatorios y el muestreo aleatorio para obtener aproximaciones numéricas de soluciones a problemas matemáticos complejos (Metropolis & Ulam, 1949). En física, se utiliza ampliamente para simular sistemas termodinámicos, analizar la propagación de partículas y resolver integrales multidimensionales. La precisión y eficiencia del método dependen del número de muestras y de la calidad de los generadores de números aleatorios. Una de las aplicaciones más conocidas del método de Monte Carlo es la simulación de sistemas de partículas en física estadística, como el modelo de Ising para estudiar transiciones de fase (Binder, 1986).

6.2 Dinámica molecular

La dinámica molecular (MD) es un método de simulación computacional utilizado para estudiar el comportamiento de sistemas de muchas partículas a nivel atómico y molecular. En MD, las trayectorias de las partículas se obtienen resolviendo las ecuaciones del movimiento de Newton, donde las fuerzas entre las partículas se calculan utilizando potenciales interatómicos específicos (Frenkel & Smit, 2002). Este método permite estudiar propiedades termodinámicas, estructurales y dinámicas de sistemas complejos en diversas condiciones. La dinámica molecular se aplica en campos como la biología molecular, la ciencia de materiales y la física de sólidos, proporcionando información detallada sobre procesos a escala atómica, como la difusión, reacciones químicas y cambios de fase.

6.3 Otros algoritmos de simulación

Existen varios otros algoritmos de simulación utilizados en física y ciencias relacionadas. Entre ellos, destacan los métodos de dinámica de fluidos computacional (CFD), que se utilizan para simular el comportamiento de fluidos mediante la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes (Anderson, 1995). Los métodos de simulación de Monte Carlo cuántico (QMC) son utilizados para estudiar sistemas cuánticos interactuantes, proporcionando una herramienta poderosa para el análisis de modelos en física de la materia condensada (Foulkes et al., 2001). Otro algoritmo importante es el método de elementos finitos (FEM), que se emplea para resolver ecuaciones diferenciales parciales en dominios complejos, especialmente en problemas de elasticidad, electromagnetismo y dinámica de estructuras (Zienkiewicz et al., 2005).

6.4 Aplicación a problemas de física de interés actual

La simulación computacional ha revolucionado el estudio de problemas de física de interés actual, permitiendo la exploración de fenómenos que son inaccesibles mediante experimentación directa. Por ejemplo, en la física de materiales, las simulaciones de dinámica molecular se utilizan para diseñar nuevos materiales con propiedades específicas, como aleaciones metálicas y materiales compuestos (Goddard et al., 2001). En la biología estructural, las simulaciones de dinámica molecular permiten entender la función y dinámica de proteínas y ácidos nucleicos a nivel atómico, contribuyendo al desarrollo de fármacos (Karplus & Kuriyan, 2005). En física de partículas, los métodos de Monte Carlo son esenciales para el análisis de colisiones en aceleradores de partículas, ayudando a identificar señales de nueva física más allá del modelo estándar (Gleisberg et al., 2008). Estas aplicaciones muestran cómo la simulación computacional se ha convertido en una herramienta indispensable en la investigación científica moderna.

 7. ECUACIONES DE EVOLUCIÓN

7.1 La ecuación de ondas y su discretización en diferencias finitas. Criterio de Courant

La ecuación de ondas, que describe fenómenos como la propagación de ondas sonoras y electromagnéticas, se expresa comúnmente como:

$\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{t}^2}=c^2{\mathrm{\nabla }}^{2}u$

donde $u$ es la función de onda, $c$ es la velocidad de la onda y $$∇2 es el operador Laplaciano. Para resolver esta ecuación numéricamente, se puede utilizar el método de diferencias finitas, que discretiza tanto el tiempo como el espacio en una malla de puntos. Una discretización típica en una dimensión es:

$\frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} = \alpha \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{\Delta x^2}$

​​donde $$Δt y $\mathrm{\Delta }x$ son los incrementos en el tiempo y el espacio, respectivamente, y $u_i^n$ representa el valor de $\mathrm{<b><i>u</i></b>}$ en el punto espacial $\mathrm{<b><i>i</i></b>}$ y en el tiempo $\mathrm{<b><i>n</i></b>.}$

El criterio de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) es crucial para la estabilidad de este esquema. Establece que la relación entre $\mathrm{\Delta }\mathrm{t }$y $\mathrm{\Delta }x$ debe satisfacer:

$c\frac{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }x}\le 1$

para asegurar que la solución numérica sea estable (Courant, Friedrichs, & Lewy, 1928). Este criterio asegura que la información no se propague más rápido que la velocidad de la onda en la malla discreta, evitando la inestabilidad numérica que puede surgir si este límite es violado.

7.2 La ecuación de Fourier para el calor y su discretización en diferencias finitas. Estabilidad del esquema

La ecuación de Fourier para el calor, que describe la distribución de temperatura en un medio con el tiempo, se expresacomo:

$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$

donde $u$ es la temperatura, $\alpha$ es la difusividad térmica  y $\nabla^2$ es el operador Laplaciano. La discretización en diferencias finitas de esta ecuación en una dimensión es:

$\frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} = \alpha \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{\Delta x^2}$

​​​​Reorganizando, se obtiene el esquema explícito:

$u_i^{n+1} = u_i^n + \frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2} (u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n)$

La estabilidad de este esquema depende del parámetro $\frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2}$. Para que el esquema sea estable, este parámetro debe satisfacer la condición:

$\frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2} \leq \frac{1}{2}$

Esta condición de estabilidad se puede derivar a través del análisis de Von Neumann y asegura que las oscilaciones numéricas no crezcan con el tiempo (Strikwerda, 2004). Si se utiliza un esquema implícito, como el método de Crank Nicolson, que es una media entre los métodos explícitos e implícitos, se obtiene un esquema que es incondicionalmente estable y permite usar mayores pasos de tiempo sin perder estabilidad (Crank & Nicolson, 1947).

ANEXO: EJEMPLOS DE PROBLEMAS 

1. ESCALAS, CONDICIÓN Y ESTABILIDAD 

Solución de ecuaciones en difere​​​

La ecuación en diferencias $x_{n+1} = \alpha x_n$ es una forma básica de modelo de recurrencia que puede describir el crecimiento o decaimiento de una secuencia. La solución de esta ecuación depende del valor del parámetro $\alpha$ y se puede analizar en términos de su estabilidad y comportamiento a largo plazo. A continuación, se presenta un análisis detallado para diferentes valores de $\alpha$.

Caso 1: $\mathrm{\alpha }> 1$

Cuando $\mathrm{\alpha }> 1$, la solución de la ecuació muestra un crecimiento exponencial. En este caso, cualquier error inicial en $n$$x_0$ se amplificará a medida que $n$ aumente. La solución general es:

$x_n={\alpha }^n{x}_{\mathrm{0}}$

Debido a que $\alpha >\mathrm{1, }$$\alpha^n$ crece exponencialmente con $\mathrm{<b><i>n</i></b>}$, lo que implica que cualquier pequeño error  se amplificará exponencialmente, lo que puede llevar a la inestabilidad numérica.

Caso 2: $\mathrm{\alpha }< 1$

Cuando $\mathrm{\alpha }< 1$, la solución de la ecuación muestra un decaimiento exponencial. La solución general es nuevamente:

$x_n = \alpha^n x_0$

Aquí, dado que $|\alpha| < 1$, $\alpha^n$  tiende a cero a medida que $n$ aumenta. Esto significa que cualquier error inicial  disminuirá exponencialmente con el tiempo, lo que lleva a la estabilidad del sistema.

Caso 3: $\mathrm{\alpha }= 1$

Cuando $\mathrm{\alpha }= 1$, la solución de la ecuación es simplemente:

$x_n = x_0$

En este caso, la secuencia es constante y cualquier error inicial en $x_0$se mantendrá constante a lo largo del tiempo. Esto implica estabilidad, pero no hay decaimiento del error.

Propagación o decaimiento del error

El comportamiento del error en la ecuación en diferencias depende críticamente del valor de $\alpha$. Para analizar la propagación del error, consideremos una perturbació$\delta x_0$en la condición inicial:

$x_n + \delta x_n = \alpha^n (x_0 + \delta x_0)$

La propagación del error $\delta x_n$ se puede expresar como:

$\delta x_n={\alpha }^n\delta x_{\mathrm{0}}$

Para $\alpha >1$, el error se amplifica exponencialmente, mientras que para $\mathrm{\alpha }< 1$, el error decae exponencialmente. Cuando $\mathrm{\alpha }= 1$, el error permanece constante.

Análisis dimensional y tamaño de mallas

El análisis dimensional es una herramienta crucial en la modelación matemática y numérica para asegurar que las ecuaciones y sus soluciones sean físicamente coherentes. En el contexto de discretización y tamaño de mallas, es fundamental elegir un tamaño de malla adecuado para representar el problema con precisión. Por ejemplo, en la discretización de ecuaciones diferenciales, el tamaño de malla $\mathrm{\Delta }\mathrm{x }$y el paso de tiempo $\mathrm{\Delta }\mathrm{t }$deben estar relacionados de manera que se mantenga la estabilidad numérica, como se indica en el criterio de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL).

Ecuación logística discreta y continua como ilustración de consistencia

La ecuación logística es un modelo fundamental en la biología para describir el crecimiento poblacional y se puede expresar tanto en forma continua como discreta.

Forma continua:

$\frac{dx}{dt}=rx(1-\frac{x}{K})$

donde $r$ es la tasa de crecimiento y $K$ es la capacidad de carga del medio ambiente.

Forma discreta:

$x_{n+1}=x_n+r{x}_n(1-\frac{x_n}{K})$

Para que la forma discreta sea consistente con la forma continua, el paso de tiempo $\mathrm{\Delta }t$ debe ser suficientemente pequeño. Esta consistencia asegura que la solución numérica converja a la solución exacta a medida que $$Δt→0.

2. OPERACIONES MATEMÁTICAS BÁSICAS 

Integración para cálculo de campos magnéticos usando la ley de Biot­Savart. Campo de una espira. Solución exacta en el eje de simetría, cálculo asintótico para asimetrías pequeñas. Cálculo numérico para asimetrías grandes. Comparaciones en las regiones de traslape. Cuantización semiclásica de vibraciones moleculares. El oscilador armónico. Potenciales de Lennard­Jones para moléculas diatómicas. Solución por el método de Newton y la secante, de ecuaciones algebraicas trascendentes que aparecen en el cálculo analítico de valores propios en ecuaciones diferenciales ordinarias. 

Operaciones matemáticas básicas

La integración y otros métodos numéricos son fundamentales en diversas áreas de la física y la ingeniería. Aquí se presentan ejemplos específicos, como el cálculo de campos magnéticos mediante la ley de Biot-Savart, cuantización semiclásica de vibraciones moleculares, y soluciones de ecuaciones algebraicas trascendentes que surgen en problemas de valores propios.

Integración para el cálculo de campos magnéticos usando la ley de Biot Savart

La ley de Biot-Savart es una expresión integral que se utiliza para calcular el campo magnético $\mathbf{B}$ generado por una corriente eléctrica. Se define como:

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I \, d\mathbf{l} \times \mathbf{r'}}{|\mathbf{r'}|^3}$

$\frac{{\mathrm{<span\; class="base"><span\; class="mord"><span\; class="mfrac"><span\; class="vlist-t\; vlist-t2"><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist-s"></span></span></span></span></span></span>}}^{}}{}$donde ${\mathbf{<b>r</b>}}^{\mathbf{<b>\prime </b> }}=<b> </b>\mathbf{<b>r</b> }- {\mathbf{<b>r</b>}}^{\mathbf{\prime }\mathbf{\prime }}$, $I$ es la corriente, $d\mathbf{l}$ es el elemento de longitud a lo largo del conductor,  y $\mu_0$ es la permeabilidad del vacío.

Campo de una Espira

Para una espira circular de radio $R$ y corriente $I$, el campo magnético en el eje de simetría $z$ es:

$B_z = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}}$

Solución exacta en el eje de simetría

Esta es la solución exacta para el campo magnético en el eje de simetría de la espira. Es un caso particular donde la simetría del problema permite una solución analítica directa.

Cálculo asintótico para asimetrías pequeñas

Para posiciones cercanas al eje de simetría (asimetrías pequeñas), se puede usar una expansión en series para obtener una aproximación asintótica:

$B_z\approx \frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2R^3}(1-\frac{3z^2}{2R^2})$

Cálculo numérico para asimetrías grandes

Para grandes desviaciones del eje de simetría, la integral debe resolverse numéricamente debido a la complejidad de la geometría. Métodos numéricos como el método de Simpson o cuadraturas gaussianas son útiles para este propósito.

Comparaciones en las regiones de traslape

En las regiones donde las aproximaciones asintóticas y los cálculos numéricos se traslapan, se puede comparar ambas soluciones para verificar su consistencia y precisión. Esto se realiza evaluando el campo magnético en varios puntos y comparando los resultados de las soluciones aproximadas y numéricas.

Cuantización semiclásica de vibraciones moleculares

La cuantización semiclásica se utiliza para describir las vibraciones moleculares, particularmente en el oscilador armónico y los potenciales de Lennard-Jones.

Oscilador armónico

El oscilador armónico cuántico es una aproximación útil para describir las vibraciones moleculares:

$V(x) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$

Las energías cuánticas están cuantizadas en:

$E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar \omega$

Potenciales de Lennard Jones para moléculas diatómicas

El potencial de Lennard-Jones describe las interacciones entre moléculas diatómicas:

$V(r) = 4\epsilon \left[ \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{12} - \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{6} \right]$

Las soluciones para este potencial se pueden encontrar usando métodos semiclásicos y numéricos.

Solución de ecuaciones algebraicas trascendentes

Las ecuaciones algebraicas trascendentes a menudo aparecen en el cálculo analítico de valores propios en ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos como el de Newton y el de la secante son utilizados para encontrar soluciones aproximadas.

Método de Newton

El método de Newton es un método iterativo que utiliza la derivada de la función para encontrar las raíces:

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Método de la Secante

El método de la secante es una variante del método de Newton que no requiere la derivada de la función:

$x_{n+1} = x_n - f(x_n) \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$

$xn+1​=xn​−f(xn​)f(xn​)−f(xn−1​)xn​−xn−1​​​$

Estos métodos son esenciales para resolver las ecuaciones trascendentes que surgen en la cuantización de niveles de energía y otros problemas físicos.

3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 

Cálculo del periodo para el problema de dos cuerpos por integración numérica de las ecuaciones y su comparación con el cálculo numérico de la expresión analítica. Solución del problema de la relación entre el ángulo y el tiempo en el problema de Kepler. Cálculo aproximado de ceros. El problema de Kepler perturbado y su solución numérica. Comparación entre los resultados de pequeñas perturbaciones y los asintóticos. Problema de Henon y Heiles. Problemas de Silnikov y dependencia sensitiva de las condiciones iniciales. 

Cálculo del periodo para el problema de dos cuerpos

El problema de dos cuerpos en la mecánica celeste involucra la interacción gravitacional entre dos masas puntuales. El periodo orbital se puede calcular mediante integración numérica de las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de los cuerpos, comparándolo con la expresión analítica derivada de las leyes de Kepler.

Integración numérica de las ecuaciones

Las ecuaciones de movimiento para dos cuerpos bajo la influencia gravitacional mutua se pueden escribir como:

$\frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = -\frac{\mu \mathbf{r}}{r^3}$

donde $\mathbf{r}$ es el vector posición relativa, $r = |\mathbf{r}|$, y $\mu$  es el parámetro gravitacional que depende de las masas y de la constante gravitacional.

Para calcular el periodo orbital, se integran estas ecuaciones utilizando métodos numéricos como el método de Runge Kutta de cuarto orden.

Comparación con el cálculo analítico

El periodo orbital $T$ para una órbita elíptica se puede obtener analíticamente a partir de las leyes de Kepler:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}$

​donde $a$ es el semieje mayor de la órbita.

Solución del problema de la relación entre el angulo y el tiempo en el problema de Kepler

El problema de Kepler describe el movimiento de un cuerpo bajo una fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. La ecuación de movimiento polar es:

$\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = -\frac{1}{L^2 u^2} + F(u)$

donde $u = \frac{1}{r}$, $L$ es el momento angular específico, y $F(u)$ es una función que describe la energía potencial.

Cálculo aproximado de ceros

En el contexto de ecuaciones diferenciales, encontrar ceros de funciones (raíces) es crucial. Métodos numéricos como el método de bisección, el método de Newton-Raphson y el método de secante se utilizan para encontrar ceros de funciones complicadas que surgen en el estudio del problema de Kepler y problemas relacionados.

Problema de Kepler perturbado y su solución numérica

El problema de Kepler perturbado considera influencias adicionales en el movimiento orbital, como la perturbación de otros cuerpos celestes. Se puede resolver numéricamente mediante métodos de integración de órbitas perturbadas, como el método de series de potencias o el método de integración directa.

Comparación entre resultados de pequeñas perturbaciones y asintóticos

Para pequeñas perturbaciones en el problema de Kepler, se pueden comparar los resultados obtenidos de manera analítica utilizando teoría de perturbaciones y métodos numéricos para validar la precisión de los modelos asintóticos en condiciones cercanas a la idealización.

Problema de Henon-Heiles y problemas de Silnikov

El problema de Henon-Heiles es un sistema dinámico integrable que presenta caos, mientras que los problemas de Silnikov son ejemplos de sistemas con bifurcaciones y comportamiento no lineal complejo. Estos problemas se estudian utilizando métodos numéricos avanzados y técnicas de análisis dinámico para entender la dependencia sensible de las condiciones iniciales y la evolución del sistema en el tiempo.

Dependencia sensitiva de las condiciones iniciales

La dependencia sensitiva de las condiciones iniciales es característica del caos en sistemas dinámicos no lineales. Pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden llevar a trayectorias divergentes en el espacio fase, lo que requiere métodos numéricos precisos y cuidadosos para el estudio y la predicción del comportamiento del sistema a largo plazo.

Estos temas muestran la aplicación integral de métodos numéricos y técnicas analíticas en la solución de problemas en física teórica y computacional, proporcionando herramientas para la comprensión profunda de sistemas complejos y su comportamiento dinámico.

4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE PROBLEMAS MATRICIALES 

El problema del potencial electrostático y su discretización. Solución por métodos directos e iterativos. Comparación con soluciones exactas. Determinación de la densidad de carga nuclear. (Modelo de la gota.) Discretización del problema de la cuerda vibrante y la matriz de Rayleigh. Solución exacta para valores y vectores propios de esta matriz. Comparación con los resultados numéricos. Problemas sin solución exacta y comparación de resultados numéricos con cálculos analíticos de perturbación. 

Análisis numérico de problemas matriciales

El análisis numérico de problemas matriciales abarca diversas aplicaciones en física y matemáticas, desde la discretización de problemas físicos hasta la solución de sistemas complejos mediante métodos directos e iterativos.

Problema del potencial electrostático y su discretización

El potencial electrostático $\phi$ se define por la ecuación de Poisson:

$\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$

$\frac{{\mathrm{<span\; class="vlist"><span\; class="sizing\; reset-size6\; size3\; mtight"><span\; class="mord\; mtight"><span\; class="mord\; mtight"><span\; class="msupsub"><span\; class="vlist-t\; vlist-t2"><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist-s"><span\; class="base"><span\; class="mord"><span\; class="mfrac"><span\; class="vlist-t\; vlist-t2"><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist-s"></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span><span\; class="vlist-s"></span>}}_{}}{}$donde $\rho$ es la densidad de carga y $\epsilon_0$ es la permitividad del vacío. La discretización de este problema se realiza utilizando métodos de diferencias finitas, donde la ecuación de Poisson se convierte en un sistema lineal de ecuaciones:

$$Aϕ = b

donde $A$ es la matriz del operador laplaciano discretizado, $\mathbf{<i><b>\varphi </b></i>}$ es el vector de potencial discretizado, y $\mathbf{b}$ es el vector que representa la densidad de carga discretizada.

Solución por métodos directos e iterativos

- Métodos directos: Como la eliminación gaussiana o la factorización LU, que son eficaces para sistemas pequeños y bien condicionados.

- Métodos iterativos: Como el método de relajación (Gauss-Seidel, SOR) o métodos más avanzados como el método de Gradiente Conjugado, útiles para sistemas grandes y dispersos.

Comparación con Soluciones Exactas

Se comparan los resultados numéricos del potencial electrostático con soluciones analíticas exactas para geometrías simples, validando la precisión y la convergencia de los métodos numéricos utilizados.

Determinación de la densidad de carga nuclear (Modelo de la Gota)

El modelo de la gota nuclear trata la distribución de protones y neutrones en el núcleo atómico. Se utiliza la discretización para modelar la densidad de carga nuclear, resolviendo un problema similar al electrostático pero con condiciones y propiedades específicas del núcleo.

Discretización del problema de la cuerda vibrante y la matriz de Rayleigh

Para el problema de la cuerda vibrante, la discretización lleva a un sistema de ecuaciones diferenciales o integrales que involucra la matriz de Rayleigh. Esta matriz se relaciona con la energía potencial de la cuerda y sus modos normales de vibración.

Solución exacta para valores y vectores propios de la matriz de Rayleigh

Los valores propios y vectores propios de la matriz de Rayleigh se calculan numéricamente para determinar las frecuencias naturales de vibración y las formas modales de la cuerda.

Comparación con los Resultados Numéricos

Se comparan los resultados numéricos de los valores y vectores propios con soluciones exactas disponibles para el problema de la cuerda vibrante, validando la precisión y la convergencia de los métodos utilizados.

Problemas sin solución exacta y comparación de resultados numéricos con cálculos analíticos de perturbación

Para problemas matriciales sin solución exacta, como sistemas complejos de cuerpos vibrantes o sistemas cuánticos, se emplean métodos numéricos avanzados. Se comparan los resultados numéricos con soluciones obtenidas mediante teorías de perturbación o aproximaciones analíticas, evaluando la validez y la precisión de los modelos numéricos utilizados.

5. PROBLEMAS CLÁSICOS Y CUANTÍCOS DE VALORES PROPIOS 

Valores propios para problemas estacionarios tipo Schrödinger. Frecuencias naturales de vibración para sistemas oscilantes de una y dos dimensiones. Problemas de cálculo de raíces de varias variables que aparecen en formulaciones variacionales con pocos parámetros libres. 

Problemas clásicos y cuánticos de valores propios

Los problemas clásicos y cuánticos de valores propios abarcan diversos campos de la física teórica y aplicada, desde la mecánica cuántica hasta la dinámica estructural y el análisis variacional.

Valores propios para problemas estacionarios tipo Schrödinger

En la mecánica cuántica, los problemas estacionarios tipo Schrödinger involucran la búsqueda de valores propios y funciones propias para el operador Hamiltoniano 

$\hat{H}$:

$\hat{H} \psi_n = E_n \psi_n$

donde $\psi_n$

son las funciones propias (funciones de onda)  son los valores propios (energías) asociados. La discretización de estos problemas lleva a sistemas matriciales que se resuelven numéricamente para obtener los valores y vectores propios.

Frecuencias naturales de vibración para sistemas oscilantes de una y dos dimensiones

Los sistemas oscilantes, como las cuerdas vibrantes o placas vibrantes, se modelan mediante ecuaciones diferenciales que derivan en problemas de valores propios para determinar las frecuencias naturales de vibración. Estas frecuencias se calculan resolviendo el problema de valores propios de la matriz de masa y rigidez asociada al sistema.

Problemas de cálculo de raíces de varias variables en formulaciones variacionales

En las formulaciones variacionales, se buscan extremos de funcionales que involucran problemas de valores propios. Estos problemas pueden llevar a ecuaciones no lineales para determinar los parámetros libres óptimos. Métodos numéricos como el método de Newton Raphson se utilizan para calcular raíces de estas ecuaciones en varias variables, garantizando la convergencia y la precisión de las soluciones.

6. SIMULACIÓN COMPUTACIONAL 

Generación de números al azar. Integración multidimensional. Movimiento de una partícula en un fluido bajo la acción de la gravedad. Estudio de un sistema de varias partículas que interaccionan a través de un potencial. Transiciones de fase en modelos tipo Ising. 

Simulación computacional

La simulación computacional es fundamental en diversas áreas de la ciencia y la ingeniería para estudiar fenómenos complejos y sistemas dinámicos. A continuación se abordan varios aspectos clave de la simulación computacional:

Generación de números al azar

La generación de números al azar es esencial para muchos métodos de simulación, como el método de Monte Carlo y la dinámica molecular. Se utilizan algoritmos que generan secuencias de números pseudoaleatorios con distribuciones estadísticas deseables para representar la aleatoriedad en los modelos computacionales.

Integración multidimensional

En simulaciones computacionales, la integración multidimensional se utiliza para calcular propiedades de sistemas complejos que involucran múltiples variables. Métodos como la integración de Monte Carlo y métodos numéricos deterministas (como el método de Simpson o el método de cuadratura gaussiana) se aplican para evaluar integrales en espacios de alta dimensión.

Movimiento de una partícula en un fluido bajo la acción de la gravedad

El movimiento de partículas en un fluido, bajo la influencia de fuerzas como la gravedad, se modela mediante simulaciones de dinámica de fluidos computacional (CFD). Se resuelven ecuaciones de Navier Stokes junto con condiciones de frontera apropiadas para predecir el comportamiento de las partículas en el fluido, proporcionando información sobre la dinámica del fluido y la interacción partícula fluido.

Estudio de un sistema de varias partículas que interaccionan a través de un potencial

Sistemas de partículas interactuantes se estudian mediante simulaciones de dinámica molecular (MD) o métodos similares. Las partículas se modelan como puntos o esferas con propiedades específicas, y las interacciones entre ellas se describen a través de potenciales energéticos (como potenciales de Lennard-Jones o potenciales coulombianos). Se utilizan algoritmos numéricos para resolver las ecuaciones de movimiento y predecir la evolución temporal del sistema.

Transiciones de fase en modelos tipo Ising

Los modelos tipo Ising se utilizan para estudiar transiciones de fase en sistemas magnéticos y otros sistemas físicos. Mediante simulaciones Monte Carlo u otros métodos de simulación estocástica, se estudia cómo varían las propiedades del sistema con la temperatura y otros parámetros, permitiendo la observación y análisis de transiciones de fase, como la transición ferromagnética a paramagnética.

7. ECUACIONES DE EVOLUCIÓN 

Propagación de ondas según la ecuación ut + cux =0. Problemas con valores iniciales y de señalización. Comparación con soluciones exactas. El caso c = c(x). Estabilidad de esquemas en diferencias finitas usando series discretas de Fourier. Flujo de calor y solución de u = Duxx  en un intervalo.

Ecuaciones de evolución

Las ecuaciones de evolución describen la propagación y cambio de fenómenos físicos a lo largo del tiempo o el espacio. A continuación se exploran algunos aspectos relevantes de estas ecuaciones y sus métodos numéricos asociados:

Propagación de ondas según la ecuación 

$u_t + c u_x = 0$

La ecuación de advección lineal describe la propagación de ondas con velocidad constante $c$. En diferencias finitas, se discretiza como:

$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}+c\frac{u_i^n-u_{i-1}^n}{\mathrm{\Delta }x}=0$

donde $u_i^n$

 representa el valor de $u$ en el punto espacial $x_i$ y el tiempo $t_n$. Esta ecuación modela la propagación de información sin deformación.

Problemas con valores iniciales y de señalización

Los problemas de valores iniciales involucran la determinación de la solución $u(x, 0) = f(x)$ para la ecuación de evolución. Los problemas de señalización implican la determinación de cómo una perturbación inicial se propaga a lo largo del tiempo, modelados típicamente con ecuaciones hiperbólicas como la ecuación de advección.

Comparación con soluciones exactas

Las soluciones exactas se utilizan para validar métodos numéricos. Para la ecuación de advección, soluciones características como $u(x, t) = f(x - ct)$ proporcionan un estándar para comparar la precisión de los métodos numéricos.

El Caso $\mathrm{c }= c(x)$

Cuando la velocidad $c$ varía con la posición $x$, la ecuación de advección se generaliza a  $u_t + c(x) u_x = 0$. Esta variabilidad introduce desafíos adicionales en la discretización numérica y puede requerir métodos más avanzados como los esquemas de upwind para conservar la estabilidad y precisión numérica.

Estabilidad de esquemas en diferencias finitas usando series discretas de Fourier

La estabilidad de los esquemas en diferencias finitas para ecuaciones de evolución se analiza utilizando el método de von Neumann o análisis de series de Fourier discretas. Este análisis determina condiciones bajo las cuales un esquema numérico conserva la estabilidad, asegurando que las soluciones numéricas no diverjan a medida que avanza el tiempo.

Flujo de calor y solución de $u_t = D u_{xx}$ en un Intervalo

La ecuación del calor describe la difusión de calor en un medio y se modela con la ecuación e $u_t = D u_{xx}$ donde $D$ es el coeficiente de difusión. La solución analítica y numérica de esta ecuación en un intervalo se utiliza para predecir la distribución de temperatura a lo largo del tiempo, esencial en la modelización de procesos de transferencia de calor.

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