Introducción al Calculo

El cálculo, como disciplina matemática, ha sido desarrollado y refinado a lo largo de la historia por varios matemáticos y científicos destacados. Es difícil atribuir su paternidad a una única persona, ya que su evolución se debe a numerosos contribuyentes a lo largo de los siglos.

Sin embargo, dos de las figuras más prominentes en el desarrollo del cálculo son Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Ambos trabajaron de manera independiente y en diferentes contextos, pero sus contribuciones en el desarrollo del cálculo infinitesimal en el siglo XVII han sido fundamentales.

Newton es conocido por sus trabajos en la física y las matemáticas. Él desarrolló métodos tempranos de cálculo diferencial e integral para ayudar a explicar fenómenos físicos, como el movimiento y la ley de la gravitación universal.

Leibniz, por otro lado, también formuló conceptos clave del cálculo, introduciendo la notación diferencial (como la d y el ∫). Trabajó independientemente de Newton, y la notación que creó es la que ha prevalecido y se utiliza comúnmente en la actualidad.

Ambos, Newton y Leibniz, son considerados padres del cálculo debido a sus contribuciones independientes y fundamentales para el desarrollo de esta rama matemática 

El cálculo es una rama fundamental de las matemáticas que se enfoca en el estudio del cambio y la variación. Se compone de varias vertientes o ramas interrelacionadas que se utilizan para resolver una amplia gama de problemas en matemáticas y ciencias aplicadas. Mira esta breve reseña de las principales vertientes del cálculo:

Cálculo Diferencial: El cálculo diferencial se centra en el estudio de las tasas de cambio y derivadas. Se utiliza para comprender cómo cambian las funciones en respuesta a pequeñas variaciones en sus variables independientes. Las derivadas se aplican en física, economía, ciencias de la computación y más para resolver problemas de optimización, modelado de sistemas dinámicos y análisis de tendencias.

Cálculo Integral: El cálculo integral se ocupa de la acumulación de cantidades y áreas bajo curvas. Se utiliza para calcular áreas, volúmenes, longitud de arcos y otras cantidades acumulativas. Las integrales son esenciales en física, ingeniería, estadísticas y muchas otras disciplinas para resolver problemas de acumulación y cálculo de totales.

Ecuaciones Diferenciales: Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que involucran derivadas y se utilizan para modelar situaciones donde la tasa de cambio es desconocida. Son fundamentales en la física, la ingeniería y la biología para describir sistemas dinámicos, desde el movimiento de partículas hasta la difusión de sustancias químicas.

Cálculo Multivariable: El cálculo multivariable extiende el cálculo diferencial e integral a funciones con múltiples variables. Se aplica en física, ingeniería y ciencias naturales para comprender fenómenos en tres dimensiones y más. Ayuda en el análisis de campos vectoriales, gradientes y optimización en múltiples variables.

Cálculo Vectorial: se dedica al estudio de vectores y las operaciones que involucran vectores. Su aplicación se centra en la descripción de cantidades que tienen tanto dirección como magnitud, como fuerzas, campos eléctricos, velocidades, y su relevancia se encuentra en campos como la física y la ingeniería.

Análisis Real: El análisis real profundiza en los conceptos matemáticos subyacentes del cálculo, como la convergencia, continuidad y límites. Se centra en la rigurosidad matemática y es esencial para la fundamentación del cálculo y otras áreas de las matemáticas.

En conjunto, el cálculo y sus vertientes son herramientas esenciales en la resolución de problemas cuantitativos en matemáticas y ciencias aplicadas. Proporcionan un marco poderoso para comprender y modelar el cambio y la variación en una amplia gama de campos.

    Generalidades de la Función 

Una función, representada por la correspondencia f, entre un conjunto A y un conjunto B es aquella que asigna a cada elemento de A un único elemento en B.

De las correspondencias entre los conjuntos de las figuras 1, 2 y 3 tenemos que:

La función f se define de A en B ya que a cada elemento de A le corresponde exactamente un elemento de B. En contraste, g no es una función de A en A, ya que no hay un elemento correspondiente en A para Carlos. Además, h no se considera una función de A en C, ya que a Cecilia le corresponden más de un elemento en C.

Dada una función f que va de un conjunto A a un conjunto B, se denomina al conjunto A como el dominio de f, al conjunto B como el codominio de f, y al subconjunto de B formado por los elementos que son imágenes de f como el rango de f. Utilizaremos las abreviaturas dom f, codom f, y ran f para referirnos a estos conjuntos, respectivamente.

Ejemplo 1

                   Para la función f de la figura 1, halle dominio, codominio y rango

Solución           dom f = A = {Cecilia, María, Carlos, Edgar} 

                           codom f = B = {18, 19, 20, 21} 

                           ran f = {18, 19, 21}

Figura 4

En relación con esta función, se observa que f(Cecilia) = 19. La notación funcional se aclara mejor al visualizar la función como una máquina: al introducir (input) Cecilia en la máquina, esta procesa la entrada y lo transforma en 19 como salida (output).

En la expresión f(Cecilia) = 19, podemos visualizar a f como el nombre de la máquina, el paréntesis representa el cuerpo de la máquina por donde entra la palabra Cecilia, y el 19 después del igual es el número que resulta de la máquina. En esta analogía de una función con una máquina, los elementos del dominio de la función son como los objetos que tienen permiso de entrar en la máquina, es decir, aquellos para los cuales la máquina está diseñada, mientras que los elementos del rango son los objetos que la máquina produce como salida.

    Diversidad representativa de la Función 

Diversas maneras existen para representar o describir una función. A continuación, se presentan algunas formas comunes:

Notación Matemática:

Utilizando la notación matemática estándar, se puede representar una función como f:A→B, donde A es el dominio, B es el codominio, y f es la regla de asignación.

Expresiones Algebraicas:

Es posible describir una función mediante expresiones algebraicas que expresan la relación entre la variable independiente y la variable dependiente. Por ejemplo, 

f(x) = 2x + 1.

Gráficos:

Graficar una función en un sistema de coordenadas cartesianas proporciona una representación visual de su comportamiento. La posición de los puntos en el gráfico muestra cómo la función asigna valores del dominio a valores del codominio.

Tablas de Valores:

Organizar los pares ordenados (entrada, salida) en una tabla es otra forma de describir una función. Cada fila representa un punto en la relación.

Descripciones Verbales:

Puede utilizarse lenguaje natural para describir la relación funcional entre las variables. Por ejemplo, "La función f duplica cada número de entrada".

Reglas de Correspondencia:

Al expresar la relación en términos de reglas específicas, se describe cómo se asignan los elementos del dominio a los elementos del codominio.

Cada una de estas formas proporciona una perspectiva única y puede ser más apropiada según el contexto o el propósito específico de la descripción de la función.

Referencias

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Videos

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-Factorizando polinomios con 6x cuadrado precálculo 01.049, YouTube: http://www.

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- Video preCalculo: tu.tv/tags/precalculo

-Videos tutoriales de PreCalculo: www.tareasplus.com/pre-calculo

- Schaum’s Outline PreCalculus, YouTube: www.youtube.com/match?v=9c9nGjjZI-k

- Guías y videos educativos: precálculo-James Stewart. u1v.blogspot.com/2011/

09/precalculo-james-stewart.html

- Introducción a los límites - Pre Calculo, YouTube: http://www.youtube.com/watch?

v=FmU6EOe-52o